$a$ を実数の定数とする。$0\leq x\leq 1$ における関数
$$f(x)=x^{2}-2ax+3$$
の最小値を $m(a)$ とする。$m(a)$ を求めよ。
「最小値 $m(a)$ を求めよ」＝定義域 $0\leq x\leq 1$ の中で $f(x)$ が最も小さくなる値を、$a$ の値ごとに場合分けして $a$ の式で表せ、という要求。
思考カード
問題の指示から逆算する順に並べ替えてください。ドラッグ、または ↑ ↓ で動かせます。
- 何を求めよと指示されているかを確認する。$0\leq x\leq 1$ における最小値を、$a$ の式で表すことが要求されている。逆算の出発点。ここを飛ばすと場合分けの必要性に気づけない。
- 最小値がどこでとられるかは、軸と定義域の位置関係で決まると判断する。「頂点＝最小」と即断しないための一手。
- $f(x)$ を平方完成し、軸 $x=a$ と頂点 $(a,\ 3-a^{2})$ を求める。軸を求めるために平方完成する。
- 軸 $x=a$ が定義域の左外・内部・右外のどこにあるかで場合分けする。場合分けの基準は軸の位置。
- 各場合で最小となる $x$ を決め、$m(a)$ を計算してまとめる。最後に $a$ の式として答えをまとめる。
- 判別式 $D/4=a^{2}-3$ を計算して、実数解の個数を調べる。解の個数ではなく最小値を問われているので、この問題では使いません。
使わないカード
解説を見る
平方完成すると $$f(x)=(x-a)^{2}+3-a^{2}$$ となる。よってグラフは下に凸の放物線で、軸は $x=a$、頂点は $(a,\ 3-a^{2})$ である。定義域 $0\leq x\leq 1$ に対して、軸 $x=a$ の位置で場合分けする。
(i) $a<0$ のとき（軸が定義域の左外）
区間内で単調増加だから、$x=0$ で最小。$m(a)=f(0)=3$。
(ii) $0\leq a\leq 1$ のとき（軸が定義域の内部）
頂点で最小。$m(a)=3-a^{2}$。
(iii) $a>1$ のとき（軸が定義域の右外）
区間内で単調減少だから、$x=1$ で最小。$m(a)=f(1)=1-2a+3=4-2a$。
以上より $$m(a)=\begin{cases}3 & (a1)\end{cases}$$