二次関数の最大・最小

考え方

二次関数の最大・最小は、軸の位置と定義域の関係だけで決まる。したがって、まず平方完成して軸を求めることが出発点になる。

定理（定義域に制限がない場合）

$y=a(x-p)^{2}+q$ について、

• $a>0$ のとき、$x=p$ で最小値 $q$ をとり、最大値はない。
• $a<0$ のとき、$x=p$ で最大値 $q$ をとり、最小値はない。

証明

$a>0$ とする。すべての実数 $x$ に対して $(x-p)^{2}\geq 0$ であり、$a>0$ であるから $a(x-p)^{2}\geq 0$。したがって $y\geq q$ であり、等号が成り立つのは $x=p$ のときに限る。よって $x=p$ で最小値 $q$ をとる。また $(x-p)^{2}$ はいくらでも大きくなるから、最大値は存在しない。$a<0$ の場合も同様である。

定義域に制限がある場合

区間 $\alpha\leq x\leq\beta$ での最大・最小は、軸 $x=p$ がこの区間のどこにあるかで場合分けして決める。$a>0$ のときは次のようになる。

• 軸が区間の内部にある（$\alpha\leq p\leq\beta$）：頂点で最小。
• 軸が区間の左外にある（$p<\alpha$）：区間内で単調増加。$x=\alpha$ で最小。
• 軸が区間の右外にある（$p>\beta$）：区間内で単調減少。$x=\beta$ で最小。

つまり「頂点の値をそのまま答える」ことができるのは、軸が定義域に含まれているときに限る。ここを確認せずに頂点の値を書くのが、最も多い誤りである。