平方完成

定義

二次式 $ax^{2}+bx+c$（$a\neq 0$）を、$a(x-p)^{2}+q$ の形に変形することを平方完成という。

定理

$a\neq 0$ のとき、次が成り立つ。

$$ax^{2}+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}$$

証明

$x$ を含む項を $a$ でくくる。

$$ax^{2}+bx+c=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right)+c$$

括弧の中は $x^{2}+2\cdot\frac{b}{2a}\cdot x$ であるから、$\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}$ を足して引けば平方の形が作れる。

$$=a\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\left(\frac{b}{2a}\right)^{2}\right\}+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a}+c$$

$$=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}$$

よって示された。

この操作で何が読み取れるようになるか

$y=a(x-p)^{2}+q$ の形になっていれば、グラフは頂点 $(p,\ q)$、軸 $x=p$ の放物線である。つまり平方完成は、式から頂点と軸を取り出す操作である。

例

$y=2x^{2}-8x+5$ を平方完成する。

$$y=2(x^{2}-4x)+5=2\left\{(x-2)^{2}-4\right\}+5=2(x-2)^{2}-3$$

よって頂点は $(2,\ -3)$、軸は直線 $x=2$ である。